Matematika Kelas 11 Semester 1: Latihan Soal & Pembahasan

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran fundamental yang terus berkembang seiring jenjang pendidikan. Bagi siswa kelas 11, semester pertama seringkali menjadi gerbang menuju pemahaman konsep-konsep matematika yang lebih mendalam, terutama dalam persiapan menghadapi materi yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Kurikulum tahun 2013, yang menjadi acuan pembelajaran, menekankan pada pemahaman konsep, pemecahan masalah, dan penalaran matematis. Artikel ini akan menyajikan contoh soal beserta pembahasan mendalam untuk materi matematika kelas 11 semester 1 berdasarkan kurikulum 2013, dengan fokus pada topik-topik esensial. Diharapkan, artikel ini dapat menjadi sumber belajar yang efektif dan membantu siswa dalam menguasai materi serta meningkatkan kepercayaan diri dalam menghadapi ulangan harian, penilaian tengah semester, maupun penilaian akhir semester.

Outline Artikel:

1. Pendahuluan
   
   • Pentingnya matematika di kelas 11.
   • Fokus pada kurikulum 2013 semester 1.
   • Tujuan artikel: memberikan latihan soal dan pembahasan.
2. Materi Esensial Kelas 11 Semester 1 Kurikulum 2013
   • Fungsi Eksponensial dan Logaritma:
     • Konsep dasar fungsi eksponensial.
     • Sifat-sifat eksponensial.
     • Grafik fungsi eksponensial.
     • Konsep dasar fungsi logaritma.
     • Sifat-sifat logaritma.
     • Hubungan antara eksponensial dan logaritma.
     • Aplikasi dalam kehidupan nyata.
   • Fungsi Trigonometri:
     • Pengenalan sudut dan pengukuran sudut (radian dan derajat).
     • Definisi fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen) pada segitiga siku-siku.
     • Nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
     • Grafik fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen).
     • Identitas trigonometri dasar.
     • Aplikasi dalam pemecahan masalah.
   • Program Linear:
     • Konsep pertidaksamaan linear dua variabel.
     • Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear.
     • Sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
     • Menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
     • Konsep fungsi objektif.
     • Menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) fungsi objektif pada daerah penyelesaian.
     • Aplikasi dalam masalah optimasi.
3. Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam
   • Bagian A: Fungsi Eksponensial dan Logaritma
     • Soal 1: Menyederhanakan ekspresi eksponensial.
     • Soal 2: Menyelesaikan persamaan eksponensial.
     • Soal 3: Menyelesaikan persamaan logaritma.
     • Soal 4: Aplikasi logaritma dalam pertumbuhan penduduk.
   • Bagian B: Fungsi Trigonometri
     • Soal 5: Menentukan nilai trigonometri dari sudut tertentu.
     • Soal 6: Menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi.
     • Soal 7: Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.
     • Soal 8: Aplikasi trigonometri dalam menghitung tinggi bangunan.
   • Bagian C: Program Linear
     • Soal 9: Merumuskan sistem pertidaksamaan dari masalah cerita.
     • Soal 10: Menentukan nilai maksimum dari fungsi objektif.
     • Soal 11: Aplikasi program linear dalam masalah produksi.
4. Tips Belajar Efektif
   • Memahami konsep dasar sebelum menghafal rumus.
   • Latihan soal secara rutin dan variatif.
   • Membuat ringkasan materi dan catatan penting.
   • Mendiskusikan soal dengan teman atau guru.
   • Memanfaatkan sumber belajar tambahan.
5. Penutup
   • Rekapitulasi pentingnya penguasaan materi.
   • Dorongan untuk terus belajar dan berlatih.

>

Pendahuluan

Matematika, sebuah disiplin ilmu yang seringkali dianggap menantang, memegang peranan krusial dalam membentuk pola pikir logis dan analitis. Di jenjang kelas 11, materi matematika semakin diperluas dan mendalam, menjadi jembatan penting untuk pemahaman konsep-konsep yang lebih kompleks di tingkat perguruan tinggi. Kurikulum 2013 yang menekankan pada pemahaman konsep, penalaran, dan pemecahan masalah, menuntut siswa untuk tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga mengerti esensi di balik setiap konsep. Semester pertama kelas 11 mencakup beberapa topik fundamental yang menjadi landasan bagi materi selanjutnya, yaitu fungsi eksponensial dan logaritma, fungsi trigonometri, serta program linear.

Artikel ini dirancang untuk memberikan bantuan konkret bagi para siswa kelas 11 semester 1 dalam menguasai materi-materi tersebut. Melalui penyajian contoh soal yang relevan dengan kurikulum 2013, beserta pembahasan yang rinci dan mudah dipahami, diharapkan siswa dapat memperkuat pemahaman konseptual mereka, melatih kemampuan pemecahan masalah, dan pada akhirnya meningkatkan kepercayaan diri dalam menghadapi berbagai bentuk evaluasi pembelajaran. Dengan latihan yang konsisten dan pendekatan yang tepat, matematika dapat menjadi mata pelajaran yang menyenangkan dan dapat dikuasai oleh setiap siswa.

Materi Esensial Kelas 11 Semester 1 Kurikulum 2013

Semester pertama kelas 11 berdasarkan kurikulum 2013 mencakup tiga pilar utama yang saling terkait dan memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang. Ketiga pilar tersebut adalah:

1. Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Topik ini memperkenalkan siswa pada fungsi yang melibatkan pemangkatan, baik dengan basis konstan dan eksponen variabel (eksponensial) maupun inversnya (logaritma).

• Konsep Dasar Fungsi Eksponensial: Fungsi eksponensial memiliki bentuk umum $f(x) = a^x$, di mana $a$ adalah basis positif dan $a neq 1$, serta $x$ adalah variabel. Fungsi ini menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan yang sangat cepat.
• Sifat-Sifat Eksponensial: Meliputi sifat perkalian, pembagian, perpangkatan dengan pangkat, perpangkatan nol, dan perpangkatan negatif. Pemahaman sifat-sifat ini krusial untuk menyederhanakan ekspresi dan menyelesaikan persamaan.
• Grafik Fungsi Eksponensial: Grafik fungsi eksponensial $f(x) = a^x$ selalu melewati titik $(0,1)$. Jika $a > 1$, grafik naik; jika $0 < a < 1$, grafik turun.
• Konsep Dasar Fungsi Logaritma: Fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponensial. Bentuk umum logaritma adalah $y = log_a x$, yang setara dengan $a^y = x$. Di sini, $a$ adalah basis logaritma ($a > 0, a neq 1$) dan $x$ adalah argumen logaritma ($x > 0$).
• Sifat-Sifat Logaritma: Mirip dengan eksponensial, logaritma memiliki sifat-sifat penting seperti logaritma perkalian, pembagian, perpangkatan, logaritma basis itu sendiri, dan logaritma 1.
• Hubungan antara Eksponensial dan Logaritma: Keduanya adalah fungsi yang saling berkebalikan. Memahami hubungan ini memungkinkan konversi antara bentuk eksponensial dan logaritma, yang sangat membantu dalam penyelesaian soal.
• Aplikasi dalam Kehidupan Nyata: Fungsi eksponensial dan logaritma banyak ditemukan dalam model pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, perhitungan bunga majemuk, dan pengukuran skala seperti skala Richter (gempa bumi) dan skala pH (keasaman).

2. Fungsi Trigonometri

Topik ini memperkenalkan hubungan antara sudut dalam segitiga siku-siku dan perbandingan sisi-sisinya, yang kemudian dikembangkan menjadi fungsi-fungsi yang memiliki sifat periodik.

• Pengenalan Sudut dan Pengukuran Sudut: Meliputi konsep sudut, arah putaran sudut, serta satuan pengukuran sudut dalam derajat ($^circ$) dan radian. Konversi antara keduanya seringkali diperlukan.
• Definisi Fungsi Trigonometri: Pada segitiga siku-siku, didefinisikan sinus (sin) sebagai perbandingan sisi depan dengan sisi miring, kosinus (cos) sebagai perbandingan sisi samping dengan sisi miring, dan tangen (tan) sebagai perbandingan sisi depan dengan sisi samping.
• Nilai Fungsi Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa: Sudut-sudut seperti $0^circ, 30^circ, 45^circ, 60^circ, 90^circ$ dan kelipatannya memiliki nilai trigonometri yang baku dan sering dihafal.
• Grafik Fungsi Trigonometri: Grafik fungsi $y = sin x$, $y = cos x$, dan $y = tan x$ memiliki bentuk yang khas dan bersifat periodik, yaitu berulang setelah interval tertentu.
• Identitas Trigonometri Dasar: Persamaan yang berlaku untuk semua nilai variabel, seperti identitas Pythagoras ($sin^2 x + cos^2 x = 1$), identitas jumlah dan selisih sudut, serta identitas sudut ganda.
• Aplikasi dalam Pemecahan Masalah: Trigonometri sangat berguna dalam menghitung jarak, tinggi, sudut elevasi, pergerakan gelombang, dan berbagai fenomena fisika yang melibatkan sudut.

3. Program Linear

Topik ini berkaitan dengan pencarian nilai optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi linear, dengan kendala-kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear.

• Konsep Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Bentuk umum seperti $ax + by le c$, $ax + by ge c$, $ax + by < c$, atau $ax + by > c$.
• Menentukan Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan Linear: Melibatkan menggambar garis $ax + by = c$ dan menentukan sisi mana dari garis yang memenuhi pertidaksamaan dengan menggunakan titik uji.
• Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear.
• Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear: Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem tersebut. Daerah ini seringkali berbentuk poligon.
• Konsep Fungsi Objektif: Fungsi linear yang ingin dioptimalkan, biasanya berbentuk $f(x, y) = px + qy$.
• Menentukan Nilai Optimum (Maksimum/Minimum) Fungsi Objektif: Nilai optimum dari fungsi objektif pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear biasanya tercapai pada titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah penyelesaian tersebut.
• Aplikasi dalam Masalah Optimasi: Program linear banyak digunakan dalam perencanaan produksi, alokasi sumber daya, masalah transportasi, dan penentuan strategi untuk mencapai keuntungan maksimal atau biaya minimal.

Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Mari kita telaah beberapa contoh soal yang mencakup materi-materi esensial di atas, beserta pembahasan langkah demi langkah.

Bagian A: Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Soal 1: Menyederhanakan Ekspresi Eksponensial

Sederhanakan bentuk $frac(2a^3 b^-2)^44a^5 b^-3$!

Pembahasan:

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan sifat-sifat eksponensial.

1. Pangkatkan setiap suku di dalam kurung:
   $(2a^3 b^-2)^4 = 2^4 cdot (a^3)^4 cdot (b^-2)^4$
   Menggunakan sifat $(x^m)^n = x^m cdot n$:
   $= 16 cdot a^3 cdot 4 cdot b^-2 cdot 4$
   $= 16 a^12 b^-8$

2. Substitusikan kembali ke dalam ekspresi awal:
   $frac16 a^12 b^-84a^5 b^-3$

3. Pisahkan koefisien dan variabel yang sama, lalu sederhanakan menggunakan sifat pembagian eksponen $fracx^mx^n = x^m-n$:
   $= left(frac164right) cdot left(fraca^12a^5right) cdot left(fracb^-8b^-3right)$
   $= 4 cdot a^12-5 cdot b^-8 – (-3)$
   $= 4 cdot a^7 cdot b^-8+3$
   $= 4 a^7 b^-5$

4. Ubahlah eksponen negatif menjadi positif menggunakan sifat $x^-n = frac1x^n$:
   $= 4 a^7 cdot frac1b^5$
   $= frac4a^7b^5$

Jadi, bentuk sederhana dari ekspresi tersebut adalah $frac4a^7b^5$.

Soal 2: Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^2x-1 = left(frac19right)^x+2$!

Pembahasan:

Langkah pertama dalam menyelesaikan persamaan eksponensial adalah membuat basisnya sama.

1. Ubah basis $frac19$ menjadi basis 3:
   Kita tahu bahwa $9 = 3^2$, sehingga $frac19 = frac13^2 = 3^-2$.

2. Substitusikan kembali ke dalam persamaan:
   $3^2x-1 = (3^-2)^x+2$

3. Gunakan sifat perpangkatan $(a^m)^n = a^m cdot n$ pada ruas kanan:
   $3^2x-1 = 3^-2(x+2)$
   $3^2x-1 = 3^-2x-4$

4. Karena basisnya sudah sama, kita dapat menyamakan eksponennya:
   $2x-1 = -2x-4$

5. Selesaikan persamaan linear untuk mencari nilai $x$:
   Tambahkan $2x$ ke kedua ruas:
   $2x + 2x – 1 = -4$
   $4x – 1 = -4$

   Tambahkan 1 ke kedua ruas:
   $4x = -4 + 1$
   $4x = -3$

   Bagi kedua ruas dengan 4:
   $x = -frac34$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $-frac34$.

Soal 3: Menyelesaikan Persamaan Logaritma

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $log_2 (x+1) + log_2 (x-1) = 3$!

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma dan mengubahnya menjadi bentuk eksponensial.

1. Gunakan sifat logaritma $log_a M + log_a N = log_a (M cdot N)$ pada ruas kiri:
   $log_2 ((x+1)(x-1)) = 3$

2. Sederhanakan perkalian di dalam logaritma menggunakan selisih kuadrat $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$:
   $log_2 (x^2 – 1) = 3$

3. Ubah persamaan logaritma menjadi bentuk eksponensial. Ingat bahwa $log_a b = c$ setara dengan $a^c = b$:
   $2^3 = x^2 – 1$

4. Hitung nilai $2^3$ dan selesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk:
   $8 = x^2 – 1$

   Tambahkan 1 ke kedua ruas:
   $8 + 1 = x^2$
   $9 = x^2$

   Akar kuadrat dari kedua ruas:
   $x = pm sqrt9$
   $x = pm 3$

5. Periksa solusi terhadap domain logaritma. Argumen logaritma harus positif.

   • Untuk $x = 3$:
     $x+1 = 3+1 = 4 > 0$ (memenuhi)
     $x-1 = 3-1 = 2 > 0$ (memenuhi)
     Jadi, $x=3$ adalah solusi yang valid.

   • Untuk $x = -3$:
     $x+1 = -3+1 = -2 < 0$ (tidak memenuhi)
     $x-1 = -3-1 = -4 < 0$ (tidak memenuhi)
     Jadi, $x=-3$ bukan solusi yang valid karena argumen logaritma tidak boleh negatif.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $3$.

Soal 4: Aplikasi Logaritma dalam Pertumbuhan Penduduk

Jumlah penduduk di suatu kota diperkirakan tumbuh mengikuti model pertumbuhan eksponensial $P(t) = P_0 e^kt$, di mana $P(t)$ adalah jumlah penduduk pada waktu $t$ (dalam tahun), $P_0$ adalah jumlah penduduk awal, dan $k$ adalah konstanta pertumbuhan. Jika pada tahun 2020 jumlah penduduk adalah 1.000.000 jiwa dan pada tahun 2025 jumlah penduduk menjadi 1.200.000 jiwa, tentukan:
a. Konstanta pertumbuhan ($k$).
b. Prediksi jumlah penduduk pada tahun 2030.

Pembahasan:

Kita diberikan model $P(t) = P_0 e^kt$.

Kita tetapkan tahun 2020 sebagai $t=0$. Maka, $P_0 = P(0) = 1.000.000$.
Tahun 2025 adalah $t=5$, dan $P(5) = 1.200.000$.

a. Mencari Konstanta Pertumbuhan ($k$)

Gunakan informasi dari tahun 2025:
$P(5) = P_0 e^k cdot 5$
$1.200.000 = 1.000.000 e^5k$

Bagi kedua sisi dengan $1.000.000$:
$frac1.200.0001.000.000 = e^5k$
$1.2 = e^5k$

Untuk mencari $k$, kita ambil logaritma natural (ln) pada kedua sisi:
$ln(1.2) = ln(e^5k)$
$ln(1.2) = 5k$ (karena $ln(e^x) = x$)

Sekarang, selesaikan untuk $k$:
$k = fracln(1.2)5$

Menggunakan kalkulator, $ln(1.2) approx 0.1823$.
$k approx frac0.18235$
$k approx 0.03646$

Jadi, konstanta pertumbuhan $k$ adalah sekitar $0.03646$.

b. Prediksi Jumlah Penduduk pada Tahun 2030

Tahun 2030 adalah $t = 2030 – 2020 = 10$.
Kita gunakan model $P(t) = P_0 e^kt$ dengan $P_0 = 1.000.000$, $k approx 0.03646$, dan $t=10$.

$P(10) = 1.000.000 cdot e^0.03646 cdot 10$
$P(10) = 1.000.000 cdot e^0.3646$

Menggunakan kalkulator, $e^0.3646 approx 1.4401$.
$P(10) approx 1.000.000 cdot 1.4401$
$P(10) approx 1.440.100$

Jadi, prediksi jumlah penduduk pada tahun 2030 adalah sekitar 1.440.100 jiwa.

Bagian B: Fungsi Trigonometri

Soal 5: Menentukan Nilai Trigonometri dari Sudut Tertentu

Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan sudut B adalah sudut siku-siku. Jika panjang AB = 8 cm dan BC = 6 cm, tentukan nilai dari:
a. $sin A$
b. $cos A$
c. $tan A$

Pembahasan:

Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring AC menggunakan teorema Pythagoras.
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 6^2$
$AC^2 = 64 + 36$
$AC^2 = 100$
$AC = sqrt100 = 10$ cm.

Sekarang kita bisa menentukan nilai fungsi trigonometri untuk sudut A.
Sisi depan sudut A adalah BC = 6 cm.
Sisi samping sudut A adalah AB = 8 cm.
Sisi miring adalah AC = 10 cm.

a. $sin A$: Perbandingan sisi depan dengan sisi miring.
$sin A = fracBCAC = frac610 = frac35$

b. $cos A$: Perbandingan sisi samping dengan sisi miring.
$cos A = fracABAC = frac810 = frac45$

c. $tan A$: Perbandingan sisi depan dengan sisi samping.
$tan A = fracBCAB = frac68 = frac34$

Soal 6: Menggunakan Identitas Trigonometri untuk Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan ekspresi $fracsin xcsc x + fraccos xsec x$!

Pembahasan:

Kita akan menggunakan identitas trigonometri dasar untuk menyederhanakan ekspresi ini.
Ingat bahwa:
$csc x = frac1sin x$
$sec x = frac1cos x$

1. Substitusikan definisi $csc x$ dan $sec x$:
   $fracsin xfrac1sin x + fraccos xfrac1cos x$

2. Sederhanakan pembagian pecahan:
   $sin x cdot sin x + cos x cdot cos x$
   $= sin^2 x + cos^2 x$

3. Gunakan identitas Pythagoras $sin^2 x + cos^2 x = 1$:
   $= 1$

Jadi, bentuk sederhana dari ekspresi tersebut adalah 1.

Soal 7: Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $sin x = frac12$ untuk $0^circ le x le 360^circ$!

Pembahasan:

Kita mencari sudut-sudut di antara $0^circ$ dan $360^circ$ yang nilai sinusnya adalah $frac12$.

1. Cari sudut referensi: Sudut istimewa yang nilai sinusnya $frac12$ adalah $30^circ$. Jadi, sudut referensinya adalah $30^circ$.

2. Tentukan kuadran tempat sinus bernilai positif: Sinus bernilai positif di Kuadran I dan Kuadran II.

3. Hitung sudut di Kuadran I: Sudut di Kuadran I sama dengan sudut referensi.
   $x_1 = 30^circ$

4. Hitung sudut di Kuadran II: Sudut di Kuadran II adalah $180^circ$ dikurangi sudut referensi.
   $x_2 = 180^circ – 30^circ = 150^circ$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $sin x = frac12$ untuk $0^circ le x le 360^circ$ adalah $30^circ, 150^circ$.

Soal 8: Aplikasi Trigonometri dalam Menghitung Tinggi Bangunan

Seorang pengamat berdiri di tanah pada jarak 100 meter dari kaki sebuah gedung. Ia melihat puncak gedung dengan sudut elevasi $30^circ$. Hitung tinggi gedung tersebut!

Pembahasan:

Kita dapat memodelkan masalah ini menggunakan segitiga siku-siku.

• Jarak pengamat ke gedung adalah sisi samping sudut elevasi (100 meter).
• Tinggi gedung adalah sisi depan sudut elevasi (yang ingin kita cari, sebut saja $h$).
• Sudut elevasi adalah $30^circ$.

Kita bisa menggunakan fungsi tangen karena kita memiliki sisi samping dan ingin mencari sisi depan.
$tan(textsudut elevasi) = fractextsisi depantextsisi samping$
$tan(30^circ) = frach100$

Kita tahu bahwa nilai $tan(30^circ) = frac1sqrt3 = fracsqrt33$.

Maka:
$fracsqrt33 = frach100$

Untuk mencari $h$, kalikan kedua sisi dengan 100:
$h = 100 cdot fracsqrt33$
$h = frac100sqrt33$ meter.

Jika kita ingin nilai numeriknya, $sqrt3 approx 1.732$:
$h approx frac100 cdot 1.7323$
$h approx frac173.23$
$h approx 57.73$ meter.

Jadi, tinggi gedung tersebut adalah $frac100sqrt33$ meter atau sekitar 57.73 meter.

Bagian C: Program Linear

Soal 9: Merumuskan Sistem Pertidaksamaan dari Masalah Cerita

Seorang petani memiliki lahan seluas 10 hektar. Ia berencana menanam jagung dan kedelai. Untuk menanam jagung diperlukan 1 jam kerja per hektar dan biaya Rp 200.000 per hektar. Untuk menanam kedelai diperlukan 2 jam kerja per hektar dan biaya Rp 300.000 per hektar. Petani tersebut memiliki waktu kerja maksimal 16 jam dan anggaran maksimal Rp 2.400.000. Jika keuntungan per hektar jagung adalah Rp 600.000 dan kedelai adalah Rp 800.000, tentukan:
a. Model matematika (sistem pertidaksamaan linear) dari masalah ini.
b. Buatlah grafiknya.

Pembahasan:

Misalkan:

• $x$ = jumlah hektar lahan yang ditanami jagung.
• $y$ = jumlah hektar lahan yang ditanami kedelai.

Kita akan merumuskan kendala-kendala menjadi pertidaksamaan.

Kendala Lahan:
Total lahan yang tersedia adalah 10 hektar.
$x + y le 10$

Kendala Waktu Kerja:
Total waktu kerja maksimal adalah 16 jam.
Jagung: 1 jam/hektar $rightarrow 1x$ jam
Kedelai: 2 jam/hektar $rightarrow 2y$ jam
$1x + 2y le 16$

Kendala Anggaran:
Total anggaran maksimal adalah Rp 2.400.000.
Jagung: Rp 200.000/hektar $rightarrow 200.000x$
Kedelai: Rp 300.000/hektar $rightarrow 300.000y$
$200.000x + 300.000y le 2.400.000$
Kita bisa menyederhanakan dengan membagi seluruhnya dengan 100.000:
$2x + 3y le 24$

Kendala Non-Negatif:
Luas lahan tidak mungkin negatif.
$x ge 0$
$y ge 0$

a. Model Matematika:
Sistem pertidaksamaan linearnya adalah:

1. $x + y le 10$
2. $x + 2y le 16$
3. $2x + 3y le 24$
4. $x ge 0$
5. $y ge 0$

Fungsi objektif yang ingin dimaksimalkan adalah keuntungan:
$Z = 600.000x + 800.000y$

b. Grafik (Penjelasan):
Untuk menggambar grafik, kita akan menggambar garis dari setiap pertidaksamaan dan menentukan daerah penyelesaiannya.

• Garis $x + y = 10$: Titik potong sumbu x (y=0): $x=10$. Titik potong sumbu y (x=0): $y=10$. Hubungkan $(10,0)$ dan $(0,10)$. Karena $le$, daerahnya di bawah garis.
• Garis $x + 2y = 16$: Titik potong sumbu x (y=0): $x=16$. Titik potong sumbu y (x=0): $2y=16 Rightarrow y=8$. Hubungkan $(16,0)$ dan $(0,8)$. Karena $le$, daerahnya di bawah garis.
• Garis $2x + 3y = 24$: Titik potong sumbu x (y=0): $2x=24 Rightarrow x=12$. Titik potong sumbu y (x=0): $3y=24 Rightarrow y=8$. Hubungkan $(12,0)$ dan $(0,8)$. Karena $le$, daerahnya di bawah garis.
• $x ge 0$ dan $y ge 0$: Menunjukkan daerah di kuadran I.

Daerah penyelesaian yang memenuhi semua kendala adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis tersebut di kuadran I. Titik-titik pojok dari daerah ini perlu diidentifikasi untuk mencari nilai optimum.

Soal 10: Menentukan Nilai Maksimum dari Fungsi Objektif

Gunakan sistem pertidaksamaan dari Soal 9. Tentukan kombinasi penanaman jagung dan kedelai yang memberikan keuntungan maksimal dan berapa keuntungan maksimal tersebut.

Pembahasan:

Kita perlu mencari titik-titik pojok (titik sudut) dari daerah penyelesaian yang dibentuk oleh sistem pertidaksamaan pada Soal 9.

Sistem Pertidaksamaan:

1. $x + y le 10$
2. $x + 2y le 16$
3. $2x + 3y le 24$
4. $x ge 0$
5. $y ge 0$

Fungsi Objektif: $Z = 600.000x + 800.000y$

Titik-titik pojok yang mungkin adalah:

• Titik O (0,0): $Z = 600.000(0) + 800.000(0) = 0$.

• Titik A (Perpotongan $y=0$ dengan $x+y=10$ atau $2x+3y=24$):
  Jika $y=0$ pada $x+y=10 Rightarrow x=10$. Titik (10,0). Cek kendala lain: $10+2(0)=10 le 16$ (OK), $2(10)+3(0)=20 le 24$ (OK). Jadi, (10,0) adalah titik pojok.
  $Z = 600.000(10) + 800.000(0) = 6.000.000$.

• Titik B (Perpotongan $x=0$ dengan $x+2y=16$ atau $2x+3y=24$):
  Jika $x=0$ pada $x+2y=16 Rightarrow 2y=16 Rightarrow y=8$. Titik (0,8). Cek kendala lain: $0+8=8 le 10$ (OK), $2(0)+3(8)=24 le 24$ (OK). Jadi, (0,8) adalah titik pojok.
  $Z = 600.000(0) + 800.000(8) = 6.400.000$.

• Titik C (Perpotongan $x+y=10$ dan $x+2y=16$):
  Kurangkan persamaan 1 dari persamaan 2:
  $(x+2y) – (x+y) = 16 – 10$
  $y = 6$
  Substitusikan $y=6$ ke $x+y=10$:
  $x+6=10 Rightarrow x=4$.
  Titik (4,6). Cek kendala 3: $2(4)+3(6) = 8+18 = 26$. $26 notle 24$. Jadi, titik ini tidak termasuk dalam daerah penyelesaian yang valid. Ini menunjukkan bahwa perpotongan garis $x+y=10$ dan $x+2y=16$ berada di luar kendala $2x+3y le 24$.

• Titik D (Perpotongan $x+y=10$ dan $2x+3y=24$):
  Dari $x+y=10 Rightarrow x = 10-y$. Substitusikan ke $2x+3y=24$:
  $2(10-y) + 3y = 24$
  $20 – 2y + 3y = 24$
  $y = 4$
  Substitusikan $y=4$ ke $x=10-y$:
  $x = 10-4 = 6$.
  Titik (6,4). Cek kendala 2: $6+2(4) = 6+8 = 14 le 16$ (OK). Jadi, (6,4) adalah titik pojok.